Darstellungstheorie und Homologische Algebra 2

Sommersemester 2017

Voraussetzungen:
Lineare Algebra 1 und 2, Grundbegriffe der Algebra und der Darstellungstheorie (z.B. Teil 1 der Vorlesung)

Inhalt:
Weiterführende Methoden der Darstellungstheorie, insbesondere Auslander-Reiten-Theorie, danach derivierte Kategorien. Bei Interesse werden auch Seminare sowie Themen für Bachelor- und Masterarbeiten angeboten.

Kapitel 8: Wie beschreibt man Modulkategorien?
Montag 10.4. Fragestellung. Beispiele. Exakte Sequenzen als Verbindung von Objekten und Morphismen.

Kapitel 9: Irreduzible und beinahe zerfallende Morphismen
Montag 10.4. Definition irreduzibel.
Mittwoch 12.4. Charakterisierung in exakten Sequenzen. Definition links und rechts minimal, links und rechts beinahe zerfallend.
Mittwoch 19.4. Beinahe zerfallende Sequenzen. Charakterisierungen. Eigenschaften von irreduziblen und beinahe zerfallenden Morphismen. Zusammenhang zwischen irreduzibel und beinahe zerfallend.
Montag 24.4. Fortsetzung Beweise.

Kapitel 10: Die Auslander-Reiten Verschiebung
Mittwoch 26.4. Minimale projektive Präsentation. Transponieren. Stabile Kategorien.
Mittwoch 3.5. Morphismenkategorie der projektiven Moduln. Tr als Äquivalenz.
Montag 8.5. Auslander-Reiten Verschiebung. Beispiele.
Mittwoch 10.5. Auslander-Reiten Formeln.
Montag 15.5. Fortsetzung Beweis.

Kapitel 11: Auslander-Reiten Sequenzen
Montag 15.5. Existenz von Auslander-Reiten Sequenzen.
Mittwoch 17.5. Cartanmatrix. Projektive, injektive, globale Dimension. Coxetermatrix. Erbliche Algebren.
Montag 22.5. Äquivalente Definition von erblich. Formel für Dimensionsvektoren von AR-Verschobenen.

Kapitel 12: Brauer-Thrall I
Montag 22.5. Die Brauer-Thrall I Vermutung. Beweisstrategie.
Mittwoch 24.5. Harada-Sai Lemma. Beweis der Vermutung.

Kapitel 13: Auslander-Reiten Köcher
Mittwoch 24.5. Definition.
Montag 29.5. Radikal einer Kategorie. Beispiele von Maschen.
Mittwoch 31.5. Stricken im Typ A.
Montag 12.6. Weitere Beispiele. Präprojektiv, präinjektiv, regulär. Kroneckeralgebra.
Mittwoch 14.6. Der Auslander-Reiten Köcher der Kroneckeralgebra.

Kapitel 14: Spiegelungsfunktoren
Montag 19.6. Quelle, Senke, zulässige Anordnung. Spiegelungsfunktoren.
Mittwoch 21.6. Symmetrische Bilinearform und quadratische Form. Vergleichshomomorphismen. Dynkin-Diagramme. Satz von Gabriel.
Montag 26.6. APR-Kippen

Kapitel 15: Komplexe
Montag 26.6. (Ko)Kettenkomplexe. (Ko)Homologie. Quasi-Isomorphismus.
Mittwoch 28.6. Schlangenlemma und Verbindungshomomorphismus.
Montag 3.7. Homotopie. Vergleichssatz für projektive Auflösungen. Hufeisenlemma.
Mittwoch 5.7. Abbildungskegel.

Kapitel 16: Abgeleitete Funktoren
Mittwoch 5.7. (Ko)homologische δ-Funktoren.
Montag 10.7. Abgeleitete Funktoren bilden einen homologische δ-Funktor.
Mittwoch 12.7. Abgeleitete Funktoren sind universell. Axiome für Tor und Ext.

Kapitel 17: Derivierte Kategorien
Montag 17.7. Lokalisierung, multiplikatives System, Bruchrechnen. Derivierte Kategorie. Vergleich mit Homotopiekategorien.
Mittwoch 19.7. Fortsetzung Beweis. Derivierte Kategorien erblicher Algebren. Erweiterungen als verschobene Homomorphismen.

Übungsblätter
Blatt 1
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Blatt 11
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Literatur (wird im Laufe des Semesters ergänzt):
Darstellungstheorie:
I.Assem, D.Simson and A.Skowronski, Elements of the representation theory of associative algebras. Volume 1: Techniques of representation theory (elementare Einführung, Standardmaterial, weitere Bände sind spezieller)
M.Auslander, I.Reiten and S.Smalo, Representation theory of artin algebras (Einführung, Standardmaterial)
C.Curtis and I.Reiner, Representation theory of associative algebras (sehr detaillierte Einführung, vertieft durch:) Methods of representation theory, vol 1 and 2
W.Fulton and J.Harris, Representation Theory: A first course (Einführung in die Darstellungstheorie anhand detailliert ausgearbeiteter Beispiele, vor allem Darstellungstheorie von Gruppen und von Lie-Algebren)
J.Alperin and R.Bell, Groups and representations (elementare Einführung)
R.Schiffler, Quiver representations (elementare Einführung)
M. Barot, Introduction to the representation theory of algebras
A.Zimmermann, Representation theory, A homological algebra point of view

Homologische Algebra:
C.Weibel, Introduction to homological algebra
J.Rotman, An introduction to homological algebra

Kategorientheorie:
S.Mac Lane, Categories for the working mathematician
T.Leinster, Basic category theory
P.Gabriel and M.Zisman, Calculus of fractions and homotopy theory

Erster Teil der Vorlesung